Comprendre Logique du premier ordre
La logique propositionnelle ne peut que combiner des énoncés entiers indivisibles. Elle peut dire qu’il pleut et que le sol est mouillé, mais elle n’a aucun moyen de parler des objets et de leurs relations, ni d’énoncer une règle générale s’appliquant à tout objet d’une espèce. Chaque cas devrait être écrit séparément.
La logique du premier ordre ajoute la structure manquante. Les termes nomment des objets, les prédicats expriment des propriétés et des relations entre eux, les fonctions envoient des objets sur des objets, et les quantificateurs parcourent les objets. Le quantificateur universel affirme quelque chose de tout objet, l’existentiel affirme l’existence d’au moins un. C’est ce qui permet à une seule phrase de capturer une règle générale.
Les phrases de ce type forment une base de connaissances sur laquelle une inférence peut être menée : dériver des conclusions qui s’ensuivent nécessairement de ce qui est affirmé. Une procédure d’inférence correcte ne dérive que des conséquences vraies, et une procédure complète peut dériver toute conséquence qui s’ensuit. Les démonstrateurs automatiques de théorèmes implémentent de telles procédures, le plus souvent par résolution.
L’expressivité a un coût. L’inférence en logique du premier ordre est semi-décidable : une procédure peut confirmer une conséquence logique, mais peut tourner indéfiniment sur une requête qui ne s’ensuit pas. Et la logique est catégorique : un énoncé est vrai ou faux, sans moyen d’exprimer qu’une chose est seulement probable. Représenter l’incertitude est précisément la raison d’être des cadres probabilistes, tels les réseaux bayésiens, aux côtés des cadres logiques.
Exemple : Logique du premier ordre
La règle « tout étudiant qui réussit l’examen reçoit une attestation » est une seule phrase du premier ordre quantifiée sur tous les objets : pour tout x, si x est un étudiant et que x réussit, alors x reçoit une attestation. La logique propositionnelle demanderait un énoncé séparé par étudiant.
Ajouter les faits particuliers qu’Amina est étudiante et qu’Amina a réussi permet à une procédure d’inférence de dériver qu’Amina reçoit une attestation. La conclusion n’a jamais été énoncée ; elle s’ensuit nécessairement de la règle générale jointe aux faits particuliers.
Le cadre est rigide d’une manière révélatrice. « La plupart des étudiants qui réussissent reçoivent une attestation » ne peut pas être exprimé du tout : la logique du premier ordre n’offre que « tous » et « certains ». Représenter ce terrain intermédiaire exige la probabilité, ce qui est l’une des principales raisons pour lesquelles les approches purement logiques ont été complétées par des approches probabilistes.
Questions fréquentes
En quoi la logique du premier ordre diffère-t-elle de la propositionnelle ?
La logique propositionnelle traite les énoncés comme des atomes indivisibles. La logique du premier ordre les décompose en objets, prédicats et fonctions, et ajoute des quantificateurs : une seule phrase peut donc énoncer une règle générale sur tous les objets au lieu d’énumérer les cas.
Que signifient la correction et la complétude pour une procédure d’inférence ?
La correction signifie que tout ce qu’elle dérive s’ensuit véritablement de la base de connaissances. La complétude signifie que tout ce qui s’ensuit peut finir par être dérivé. Les deux sont souhaitables ; en logique du premier ordre, des procédures complètes existent mais peuvent ne pas terminer sur des requêtes qui ne s’ensuivent pas.
Pourquoi l’incertitude pose-t-elle problème à la représentation logique ?
Parce que chaque phrase est simplement vraie ou fausse. Une règle admettant des exceptions ne peut être énoncée sans être fausse ou sans être encombrée de conditions d’exception explicites. Les représentations probabilistes traitent directement les degrés de croyance, ce qui explique qu’elles aient largement supplanté les approches purement logiques pour le raisonnement sous incertitude.
En résumé
La logique du premier ordre représente la connaissance par des objets, des relations et des règles quantifiées, et permet une inférence qui dérive ce qui s’ensuit nécessairement. Elle est bien plus expressive que la logique propositionnelle, mais elle est coûteuse en calcul et n’a aucun moyen natif d’exprimer l’incertitude.