Comprendre Filtre de Kalman
Le filtrage discret porte un nombre par état, ce qui est impossible quand l’état est une position, une vitesse ou une température. Le filtre de Kalman traite le cas continu en restreignant le modèle plutôt que la croyance : l’état suivant est une fonction linéaire de l’état courant plus un bruit gaussien, et chaque observation est une fonction linéaire de l’état plus un bruit gaussien. Sous ces restrictions la croyance est gaussienne à chaque pas, et une gaussienne tient en deux nombres en dimension un.
Chaque pas est une prédiction et une mise à jour. La prédiction pousse la moyenne à travers la dynamique et ajoute la variance de transition : l’incertitude croît toujours. La mise à jour intègre l’observation et rétrécit toujours la variance. Écrite en entier, la moyenne mise à jour est une moyenne pondérée : la prédiction pèse la variance du capteur, l’observation pèse la variance prédite. Un capteur précis tire l’estimation vers le relevé ; un modèle précis la tire vers la prédiction.
Le fait structurel le plus utile est que la récurrence de la variance ne contient aucune observation. L’incertitude évolue de la même façon quoi que rapporte le capteur, donc toute la suite des variances, et avec elle le gain de Kalman, se calcule avant la première mesure. Sur un problème stationnaire cette suite converge, et le filtre en régime ne coûte plus qu’une moyenne pondérée par pas.
Les restrictions sont réelles. Si la dynamique est non linéaire, ou si la croyance est authentiquement multimodale - un robot qui est soit dans un couloir soit dans un autre - une gaussienne ne peut pas la représenter, et linéariser autour de l’estimation courante ou échantillonner est la réparation honnête, non un raffinement.
Comment calculer
\mu_{t+1} = \frac{(\sigma_t^2 + \sigma_x^2)\, z_{t+1} + \sigma_z^2\, \mu_t}{\sigma_t^2 + \sigma_x^2 + \sigma_z^2}, \qquad \sigma_{t+1}^2 = \frac{(\sigma_t^2 + \sigma_x^2)\, \sigma_z^2}{\sigma_t^2 + \sigma_x^2 + \sigma_z^2}
où
- \mu_t, \sigma_t^2
- la moyenne et la variance de la croyance après t observations
- \sigma_x^2
- bruit de transition : de combien l’état dérive en un pas
- \sigma_z^2
- bruit du capteur : à quel point un relevé isolé est fiable
- z_{t+1}
- la nouvelle observation
Exemple : Filtre de Kalman
Prenez une marche aléatoire partant d’une moyenne 0 et d’une variance 1, avec un bruit de transition de variance 4, un bruit de capteur de variance 1 et un premier relevé de 2,5. La prédiction laisse la moyenne à 0 et fait passer la variance de 1 à 5. La mise à jour donne alors une moyenne de (5 x 2,5 + 1 x 0) / 6 = 2,083 et une variance de (5 x 1) / 6 = 0,833.
Deux choses à y lire. La moyenne s’arrête en deçà du relevé, à 2,083 et non 2,5, parce que la prédiction détient encore un sixième du poids. Et la variance de 0,833 est inférieure à la variance prédite de 5 comme à la variance du capteur de 1 : combiner deux sources bruitées bat chacune prise seule.
Itérer la récurrence de la variance toute seule, sans aucune donnée, converge vers 0,828427. À ce point fixe le filtre accorde environ 83 pour cent de sa confiance à chaque nouveau relevé et 17 pour cent à sa propre prédiction, indéfiniment. Une variance stabilisée ne signifie pas une estimation figée : la moyenne continue de bouger à chaque observation, et seule la confiance qui l’accompagne a atteint son équilibre.
Questions fréquentes
Pourquoi la variance diminue-t-elle même quand le relevé est surprenant ?
Parce que la récurrence de la variance ne mentionne pas le relevé. Une observation surprenante déplace beaucoup la moyenne et rétrécit la variance exactement autant qu’une observation banale. La surprise renseigne sur l’endroit où est l’état, non sur la qualité de cette connaissance.
Qu’est-ce qui casse en premier hors du cadre linéaire gaussien ?
L’affirmation que la croyance reste gaussienne. Dès qu’elle ne l’est plus, une moyenne et une variance sont un résumé qui perd de l’information, et le filtre peut devenir sûr de lui et faux. La multimodalité est le cas le plus visible, et celui où les méthodes par échantillonnage sont la bonne réponse.
En résumé
Quand un état continu évolue et se mesure linéairement avec un bruit gaussien, la croyance exacte est une gaussienne, la mise à jour est une moyenne pondérée dont les poids viennent des deux variances, et tout le calendrier de l’incertitude peut être établi avant la première mesure.