Comprendre Stationnarité
Les procédures statistiques empruntent de la force à l’ensemble des observations, ce qui n’a de sens que si ces observations décrivent le même processus. La stationnarité est cette condition rendue précise : la loi qui engendre la série ne se déplace pas avec le temps. Quand elle se déplace, une moyenne sur la fenêtre est une moyenne sur des mondes différents, et un intervalle autour d’elle décrit une quantité qui n’a jamais existé.
La démonstration la plus nette est la régression fallacieuse. Engendrez deux marches aléatoires à partir de bruits entièrement séparés, de sorte qu’aucune ne sache rien de l’autre par construction, puis régressez l’une sur l’autre. Sur 2 000 paires de 200 points, la pente est significative au seuil de 5 % dans 82,8 % des cas. Rien ne cloche dans l’arithmétique ni dans les nombres aléatoires : on pose au test une question à laquelle il ne peut pas répondre.
Le mécanisme est l’absence de niveau où revenir. Une marche aléatoire est la somme courante de pas indépendants, donc sa variance croît avec le temps : 48,9 à t = 50, 194,1 à t = 200, 757,4 à t = 800. Sur toute fenêtre finie, deux telles séries errent, et deux séries errantes dérivent ensemble pendant de longues plages. Un test conçu pour des observations indépendantes lit cette dérive partagée comme une relation.
La différenciation répare cela parce que les différences d’une marche aléatoire sont exactement les pas indépendants dont elle est faite. Régresser les mêmes paires en différences premières donne un taux de significativité de 4,2 %, soit ce que doit produire un test valide à 5 %. Le coût est que le modèle décrit désormais des variations et non des niveaux, ce qui est une autre question et doit être présenté comme telle.
Comment calculer
strict: (X_t, …, X_{t+k}) ~ (X_{t+h}, …, X_{t+k+h}) for all h; weak: E[X_t] = μ, Var(X_t) = σ², Cov(X_t, X_{t+k}) = γ_k
où
- μ, σ²
- une moyenne et une variance qui ne dépendent pas de t
- γ_k
- une covariance ne dépendant que de l’écart k, non du moment de la fenêtre
- racine unitaire
- le cas non stationnaire où les chocs s’accumulent au lieu de s’estomper
- ∇X_t = X_t − X_{t−1}
- la différenciation première, qui rend à une marche aléatoire ses pas
Exemple : Stationnarité
Deux marches aléatoires indépendantes de 200 points, régressées l’une sur l’autre 2 000 fois : la pente est significative au seuil de 5 % dans 82,8 % des essais. Les mêmes paires en différences premières : 4,2 %.
La variance d’une marche aléatoire à l’instant t, mesurée sur 3 000 réplications : 48,9 à t = 50, 194,1 à t = 200 et 757,4 à t = 800, croissant proportionnellement à t au lieu de se fixer sur une valeur.
Sur une marche aléatoire, prévoir la dernière valeur observée donne une RMSE de 4,0419 contre 6,5258 pour la moyenne d’entraînement, parce qu’il n’existe aucune moyenne vers laquelle revenir que la prévision par la moyenne pourrait exploiter.
Questions fréquentes
Comment savoir si une série est stationnaire ?
Tracez-la d’abord : un niveau errant ou une dispersion qui s’élargit se voit en général. Des tests formels existent, mais leur puissance est faible contre des alternatives lentes, si bien qu’un test qui ne rejette pas est une preuve faible de stationnarité plutôt qu’un feu vert.
La différenciation est-elle toujours la réponse ?
Non. Elle corrige une tendance stochastique et sur-différencie une série déjà stationnaire, ce qui ajoute du bruit. Une tendance déterministe se retire mieux en l’ajustant, et une variance changeante appelle souvent plutôt une transformation.
Davantage de données aide-t-il sur une série non stationnaire ?
Pas pour ce problème. Le taux de rejet fallacieux ne baisse pas quand la série s’allonge : il monte, parce que les deux séries ont plus de place pour errer. C’est un biais et non du bruit, et c’est ce qui le rend dangereux.
En résumé
La stationnarité est l’hypothèse qui donne un sens au reste de la boîte à outils, et le prix de son oubli n’est pas un intervalle plus large mais une réponse assurée à une question que personne n’a posée. Vérifiez-la avant tout le reste, et traitez la réparation comme un changement de question plutôt que comme une formalité.