دوالّ الأساس وكثيرات الحدود المجزّأة

يفترض الانحدار الخطّي أن أثر المتنبّئ مستقيم. فإن لم يكن كذلك، كانت الغريزة المعتادة أن نمدّ اليد إلى خوارزمية أخرى. وثمّة حركة أرخص: أبقِ المربّعات الصغرى وغيّر ما تنحدر عليه.

فكرة دالّة الأساس

اختر عائلة من تحويلات $X$، ثابتة ومعلومة سلفًا:

$$b_1(X),\ b_2(X),\ \dots,\ b_K(X),$$

ثم لائم

$$y_i = \beta_0 + \beta_1 b_1(x_i) + \beta_2 b_2(x_i) + \cdots + \beta_K b_K(x_i) + \varepsilon_i .$$

وطريقتان مألوفتان حالتان من هذه.

• الانحدار كثير الحدود يأخذ $b_j(x) = x^j$.
• الدوالّ الدرجية تقطع المدى عند $c_1, \dots, c_K$ وتأخذ $b_j(x) = I(c_j \le x < c_{j+1})$، وهو مؤشّر قيمته 1 داخل السلّة و0 خارجها. وهذه ملاءمة ثابتة مجزّأة، شائعة حيث توجد نقاط قطع طبيعية - كفئات الأعمار الخماسية مثلًا - ورديئة حيث لا توجد، إذ لا تستطيع السلّة أن تُظهر اتّجاهًا داخل نفسها.

والكلمة الحاسمة هي ثابتة. فالدوالّ $b_j$ تُختار قبل الملاءمة ولا تُقدَّر، ومن ثمّ فالنموذج نموذج خطّي في الأعمدة المحوَّلة. وتنطبق المربّعات الصغرى دون تغيير، وكذلك كل ما بُني عليها: الأخطاء المعيارية وإحصاءات $F$ وفترات الثقة. وقد اشتريت الانحناء دون أن تغادر النموذج الخطّي.

كثيرات الحدود المجزّأة

بدلًا من كثير حدود عالميّ واحد، لائم كثير حدود منخفض الدرجة منفصلًا في كل منطقة. ضع عقدًا $\xi_1, \dots, \xi_K$ عبر المدى ولائم $K + 1$ تكعيبيًّا، واحدًا لكل منطقة. وبعقدة واحدة عند $x = 50$:

$$f(x) = \begin{cases} \beta_{01} + \beta_{11}x + \beta_{21}x^2 + \beta_{31}x^3 & x < 50 \\ \beta_{02} + \beta_{12}x + \beta_{22}x^2 + \beta_{32}x^3 & x \ge 50 \end{cases}$$

وكل قطعة ملاءمة تكعيبية اعتيادية على مجموعتها الجزئية وحدها. تكعيبيّان، لكلٍّ منهما أربع معلمات: ثماني درجات حرّية.

أين يقع الخلل

لا شيء يُلزم القطعتين بأن تتّفقا عند العقدة، فهما لا تتّفقان. وبملاءمة هذا على 200 نقطة محاكاة بعقد عند 40 و50 و60 - أربعة تكعيبيات، ستّ عشرة معلمة - تقفز القيمة الملائَمة عند كل عقدة، وكل قفزة محسوبة قبل التقريب:

$$\begin{array}{lll} \text{knot } 40 & 106.76 \to 100.43 & \text{jump } 6.34 \\ \text{knot } 50 & 94.74 \to 100.29 & \text{jump } 5.55 \\ \text{knot } 60 & 90.52 \to 96.78 & \text{jump } 6.26 \end{array}$$

وهذه ليست آثار تقريب. فالمنحنى منقطع حقًّا، وهو بوصفه وصفًا لعلاقة ملساء كلام لا معنى له.

القيود، وما تكلّفه

العلاج ليس تقليل العقد بل القيود. اشترط على القطع أن تلتقي:

1. الاتّصال عند العقدة. والوصلة التي على هيئة V الناتجة عن ذلك تبقى تبدو خاطئة.
2. اتّصال المشتقّة الأولى - فلا زاوية.
3. اتّصال المشتقّة الثانية - فلا تغيّر ظاهر في الانحناء.

وكل قيد يزيل معلمة حرّة واحدة. وابتداءً من ثمانٍ بعقدة واحدة:

$$8 - 3 = 5 .$$

والناتج شريحة تكعيبية (سبلاين تكعيبي). وعمومًا، الشريحة التكعيبية بـ$K$ عقدة تستعمل

$$K + 4$$

درجة حرّية، لأن كل عقدة إضافية تضيف تكعيبيًّا (أربع معلمات) وثلاثة قيود، فكلفتها الصافية واحدة.

التعريف العامّ. الشريحة من الدرجة $d$ كثيرُ حدود مجزّأ من الدرجة $d$ ذو مشتقّات متّصلة حتى الرتبة $d - 1$ عند كل عقدة. فالشريحة الخطّية متّصلة مع السماح بزاوية؛ والدوالّ الثابتة المجزّأة أعلاه شرائح من الدرجة 0، حيث يسقط حتى الاتّصال نفسه.

والتكعيبيّ هو الاختيار المعتاد لسبب بسيط: الانقطاع في المشتقّة الثالثة ليس ممّا تستطيع العين كشفه.

وهذه هي تلك المحاسبة قرصًا يُدار، مُطبَّقة على المئتي نقطة أعلاه. عند صفر قيود تقفز التكعيبيّات الأربع بالقيم الثلاث التي في الجدول؛ ثمّ يحذف كلّ قيد وسيطًا واحدًا لكلّ عقدة، فيسير العدّ 16 ثمّ 13 ثمّ 10 ثمّ 7 وينتهي عند K + 4 للشريحة التكعيبيّة.

وأمران تُظهرهما الصورة ويُغفلهما ما سبق. هذه الوسائط التسعة لا تشتري شيئًا يُذكر: فمجموع مربّعات البواقي لا يرتفع إلّا بأقلّ من ثلاثة في المئة على امتداد الرحلة كلّها، فالقيود تكاد تكون مجّانيّة. ثمّ إنّ الزاوية تسوء قبل أن تتحسّن. ففرض الاتّصال وحده يزيد أحدّ تغيّر في الميل على الضِّعف، من 2.42 إلى 5.95، وهي الوصلة على شكل V المذكورة أعلاه، مقيسة: فجعل القطع تتلامس ليس هو جعلها تتّفق على الاتّجاه.

إلى أين يمضي هذا

صار لدينا الآن مسألة ملاءمة بقيود، وهي أقلّ يُسرًا من المربّعات الصغرى الصرفة. والدرس التالي يزيل ذلك العُسر بالكامل: عمود إضافي واحد حسن الاختيار لكل عقدة يفرض القيود الثلاثة كلّها تلقائيًّا، فيعيد الأمر كلّه انحدارًا اعتياديًّا.

قبل الاختبار

كن قادرًا على كتابة الانحدار كثير الحدود والانحدار الدرجيّ نموذجَي أساس، وعلى بيان سبب بقاء نموذج الأساس مربّعاتٍ صغرى، ووصفِ كيف يخفق كثير الحدود المجزّأ وبكم تقريبًا، وعدِّ درجات الحرّية قبل القيود وبعدها.