نظرية الألعاب وتوازن ناش

افترض البحث التنافسي والمينيماكس تعارضاً صارماً: فما يكسبه لاعب يخسره الآخر. لكن معظم المواقف الاستراتيجية ليست كذلك. فقد يفضّل الطرفان التعاون على الصراع ومع ذلك يعجزان عن بلوغه. وتدرس نظرية الألعاب هذه الحالات بالضبط، ويفسّر مفهومها الحلّي المركزي قدراً كبيراً من سلوك يبدو محيّراً لولا ذلك.

أ. المكوّنات

تُحدَّد اللعبة في الصورة العادية بثلاثة أمور:

• اللاعبون؛
• والاستراتيجيات المتاحة لكلٍّ منهم؛
• ومصفوفة العوائد، التي تعطي منفعة كل لاعب لكل توليفة.

وملف الاستراتيجيات استراتيجيةٌ لكل لاعب. وحين يملك كل لاعب استراتيجية واحدة (لا خطة مشروطة بما يفعله الآخرون)، فهي استراتيجية نقية.

ب. معضلة السجينين

المثال المعياري، باتّباع راسل ونورفيغ. يُعتقل أليس وبوب ويُستجوبان منفصلين. ويُعرَض على كلٍّ منهما صفقة:

• إن شهدتَ ضدّ شريكك ورفض هو، خرجتَ حرّاً وقضى هو 10 سنوات.
• وإن شهدتما معاً، نال كلٌّ منكما 5 سنوات.
• وإن رفضتما معاً، قضى كلٌّ منكما سنة واحدة بتهمة أخفّ.

وبأخذ المنفعة سالبَ سنوات السجن، تكون مصفوفة العوائد:

ج. حلّها بالهيمنة

تفكّر أليس في خياري بوب الممكنين:

لنفترض أن بوب يشهد. تنال أليس $-5$ بالشهادة و$-10$ بالرفض. فالشهادة أفضل.

لنفترض أن بوب يرفض. تنال أليس $0$ بالشهادة و$-1$ بالرفض. فالشهادة أفضل مرة أخرى.

الشهادة أفضل في كل الحالات، فهي إذاً استراتيجية مهيمنة لأليس. وبدقة: الاستراتيجية $s$ تهيمن هيمنةً قوية على $s'$ إذا كانت نتيجة $s$ أفضل من $s'$ لـكل اختيار من اللاعبين الآخرين. (وتهيمن $s$ هيمنة ضعيفة على $s'$ إذا كانت أفضل في ملف واحد على الأقل وليست أسوأ في أي ملف.)

ومن غير العقلاني لعب استراتيجية مهيمَن عليها، ومن غير العقلاني ألا تلعب مهيمنةً حين توجد. فتشهد أليس إذاً.

والمصفوفة متناظرة، فاستدلال بوب مطابق: وهو يشهد أيضاً. وحين يملك كل لاعب استراتيجية مهيمنة، يكون الملف الناتج توازن استراتيجيات مهيمنة.

النتيجة: كلاهما يشهد، وكلاهما ينال 5 سنوات.

د. لماذا هي معضلة

انظر إلى الخانة السفلى اليمنى. لو رفضا معاً، لقضى كلٌّ منهما سنة واحدة بدل 5. فكلا اللاعبين يفضّل تلك النتيجة، ومع ذلك لا يبلغها اللعب العقلاني الفردي.

والمصطلحات لهذا: تكون النتيجة مثلى بمعنى باريتو إذا لم تكن هناك نتيجة أخرى يفضّلها كل اللاعبين، وتكون مهيمَناً عليها بمعنى باريتو إذا كانت هناك نتيجة أخرى يفضّلها الجميع. وهنا $(-5, -5)$ مهيمَن عليها بـ$(-1, -1)$.

وتلك هي المعضلة - اختيارات عقلانية فردياً تنتج نتيجةً أسوأ جماعياً. ولا شيء غير عقلاني في اللاعبين؛ بل بنية الحوافز نفسها هي التي تسوقهما إلى هناك.

هـ. توازن ناش

الاستراتيجيات المهيمنة نادرة. والمفهوم العام:

يكون ملف الاستراتيجيات توازن ناش إذا لم يستطع أي لاعب تحسين عائده بتغيير استراتيجيته منفرداً، مع تثبيت استراتيجيات الآخرين.

و«منفرداً» هي الكلمة الحاملة: فكل لاعب يفحص انحرافه هو فقط، مع بقاء خيارات الجميع ثابتة.

فحص (تشهد، يشهد): هل تستطيع أليس التحسّن بالتغيير وحدها؟ ستنتقل من $-5$ إلى $-10$. لا. وبوب، بالتناظر، لا. فهو إذاً توازن ناش.

فحص (ترفض، يرفض): هل تستطيع أليس التحسّن بالتغيير وحدها؟ ستنتقل من $-1$ إلى $0$. نعم. فرغم كونها أفضل لكليهما، ليست توازناً - بل هي غير مستقرة، لأن كل لاعب مُغرى فردياً بالانشقاق.

وكل توازن استراتيجيات مهيمنة هو توازن ناش، لكن ليس كل توازن ناش ناشئاً عن استراتيجيات مهيمنة.

تحوّل الشبكة أدناه التعريف إلى شيء يمكنك اختباره بنفسك: اختر أي نتيجة وابحث عن نقلة تعود بالنفع على لاعب واحد بمفرده. وإلى جانب المعضلة لعبتان أخريان، لأن المعضلة وحدها تخلط بين ثلاث أفكار متمايزة: الهيمنة والتوازن والكفاءة. ففي صيد الأيّل توازنات بلا أي استراتيجية مهيمنة، وفي تطابق العملتين لا يوجد توازن نقي البتة، وهذه بالضبط هي الثغرة التي يسدّها القسم التالي.

و. مبرهنة ناش والاستراتيجيات المختلطة

بعض الألعاب لا توازن لها بالاستراتيجيات النقية إطلاقاً. ومطابقة العملات هي المثال المعياري: إذ يفوز أحد اللاعبين عند التطابق والآخر عند الاختلاف، ومهما كان اختيارك النقي فلخصمك انحراف مربح، إلى ما لا نهاية.

والحلّ هو السماح بـاستراتيجيات مختلطة - أي توزيعات احتمالية على الاستراتيجيات النقية. وفي مطابقة العملات، يكون لعب كلٍّ منهما «صورة» باحتمال $1/2$ توازناً: إذ يصير عائد الخصم المتوقّع متطابقاً للصورة والكتابة، فلا ينفع أي انحراف.

وقد برهن جون ناش أن لكل لعبة منتهية توازناً واحداً على الأقل متى سُمح بالاستراتيجيات المختلطة. ويُسمّى المفهوم العام للتوازن اليوم توازن ناش تكريماً له.

والنصّ التأسيسي هو Theory of Games and Economic Behavior لفون نويمان ومورغنشترن (1944)، الذي تضمّن التحليل المبيّن أن بعض الألعاب تستلزم استراتيجيات عشوائية.

الوجود ليس الوحدانية، والتوازن ليس الأمثلية. فقد يكون للعبة توازنات ناش كثيرة بعوائد مختلفة، ما يثير مشكلة منفصلة عن أيّها سيُلعب. وكما تُظهر معضلة السجينين، قد يكون التوازن مهيمَناً عليه بمعنى باريتو - فـ«مستقرّ» و«جيّد» خاصيتان مختلفتان.

ز. التحقّق من التحليل

يمكن فحص الألعاب الصغيرة فحصاً شاملاً - ويستحق ذلك، لأن حجج الهيمنة والتوازن سهلة الخطأ على نحو خفيّ:

يطبع تشغيله testify مهيمنةً لكلا اللاعبين، ويحدّد (testify, testify) بوصفه توازن ناش الوحيد بعوائد $(-5, -5)$، ويفيد بأنه مهيمَن عليه بمعنى باريتو بـ ('refuse', 'refuse') - مؤكّداً كل دعوى أعلاه بفحص شامل لا بمجرّد التقرير.

ح. لماذا يهمّ هذا خارج الأحاجي

تتكرّر بنية المعضلة حيثما تباعدت الحوافز الفردية عن الجماعية: موارد مشتركة تُستنزف باستخدام عقلاني فردياً، وسباقات تسلّح، وحروب أسعار، والتطفّل المجاني على المنافع العامة.

وهي تهمّ أنظمة الذكاء الاصطناعي مباشرةً أيضاً. فحين يتشارك عدة وكلاء متعلّمين بيئةً واحدة، كلٌّ منهم يُحسّن هدفه هو، تحكم النتيجةَ بنيةُ توازن اللعبة لا هدفُ أي وكيل مفرد. فقد يسهم وكيل مصمَّم جيداً على انفراد في نتيجة رديئة جماعياً - ولهذا كان تصميم الآليات، أي مسألة تصميم القواعد بحيث ينتج اللعب الأناني نتائج جيدة، حقلاً قائماً بذاته.

الخلاصات الأساسية

• اللعبة في الصورة العادية هي لاعبون واستراتيجيات وعوائد؛ والاستراتيجية المهيمنة هي الأفضل مقابل كل اختيار للخصم.
• في معضلة السجينين، تهيمن الشهادة على كليهما، فتعطي $(-5, -5)$ - بينما كانت $(-1, -1)$ متاحة وأفضل لكليهما.
• تكون النتيجة مهيمَناً عليها بمعنى باريتو حين يفضّل كل اللاعبين غيرها؛ وقد تكون نتائج التوازن مهيمَناً عليها بهذا المعنى.
• توازن ناش ملفٌّ لا يكسب فيه أي لاعب بالانحراف منفرداً.
• برهن ناش أن لكل لعبة منتهية توازناً متى سُمح بالاستراتيجيات المختلطة.
• ولا يلزم أن تكون التوازنات وحيدة ولا كفوءة.

ما التالي

يُختتم بهذا مسار البحث والألعاب. ولرؤية الآلات الإحصائية التي تجاور هذه الأفكار الاستراتيجية، ابدأ من ما هو التعلّم الإحصائي؟؛ ولمتابعة خيط التحسين الذي يدرّب النماذج الحديثة، انظر الانتشار العكسي والنزول التدرّجي.