مبرهنة بايز

لكثير من الأسئلة اتجاه طبيعي معاكس لما يمكن قياسه. فالاختبار التشخيصي يوصف بعدد مرات إطلاقه إشارته حين يكون المرض حاضراً، أي P(إيجابي | مرض). أما الكمية المفيدة سريرياً فهي الشرطي المعاكس، P(مرض | إيجابي). ومبرهنة بايز هي المطابقة التي تربطهما.

وهي تلزم مباشرةً عن تعريف الاحتمال الشرطي. فلأن P(A ∩ B) يمكن كتابته إما P(A | B)P(B) وإما P(B | A)P(A)، فإن مساواة الصيغتين والقسمة يعيدان الترتيب إلى الصورة المألوفة. فالمبرهنة إذاً ليست افتراضاً ولا خياراً نمذجياً؛ بل نتيجة جبرية لبديهيات الاحتمال.

ويقع المضمون التأويلي في الكميات الثلاث على اليمين. فالقبلي P(A) هو ما كان يُعتقد قبل وصول القرينة. والأرجحية P(B | A) تقول ما مدى توقّع القرينة لو كانت الفرضية صادقة. وحدّ التسوية P(B) هو الاحتمال الكلي لرؤية تلك القرينة أصلاً، عبر كل الفرضيات. وتركيبها يعطي البعدي P(A | B).

والإخفاق العملي المهيمن هو إهمال القبلي. فحين تكون الحالة نادرة، ينتج حتى الاختبارُ الدقيق إيجابيات كاذبة في معظمه، لأن الجمهور الكبير من الأصحّاء يولّد إنذارات كاذبة أكثر مما يولّده الجمهور الصغير من المرضى من إنذارات حقيقية. والاستدلال من دقة الاختبار وحدها، بلا معدّل الأساس، يعطي جواباً قد يخطئ بمرتبة عشرية كاملة.

لنفترض أن مرضاً يصيب شخصاً واحداً من كل 1,000. ويكشفه اختبار لدى 99٪ ممن لديهم المرض، ويعطي نتيجة إيجابية كاذبة لدى 5٪ ممن ليس لديهم. وجاءت نتيجة أحدهم إيجابية. فما احتمال أن يكون مريضاً؟

خذ 100,000 شخص. نحو 100 لديهم المرض، ويشير الاختبار بصواب إلى 99 منهم. والـ99,900 الباقون أصحّاء، ويُشار إلى 5٪ منهم، أي نحو 4,995، رغم ذلك. فيكون مجموع النتائج الإيجابية 99 + 4,995 = 5,094، منها 99 فقط حقيقية.

ومن ثم فاحتمال المرض بمعلومية نتيجة إيجابية هو 99 / 5,094 ≈ 0.0194، أي أقل من 2٪. فالاختبار دقيق فعلاً، ومع ذلك فالغالبية العظمى من إيجابياته كاذبة، لمجرّد أن جمهور الأصحّاء أكبر ألف مرة. وهذا أثر معدّل الأساس، ولهذا يُتبَع عادةً بنتيجة مسح إيجابية اختبارٌ ثانٍ مستقل.