فهم مجال الثقة
التقدير وحده لا يقول شيئاً عن دقّته. ومجال الثقة يعيد هذه المعلومة الناقصة بأن يورد مدىً بدل نقطة، مقروناً بوعد عن كيفية بنائه: طبّق هذا الإجراء عيّنةً بعد عيّنة، فتحتوي النسبة المعلنة من المجالات الناتجة القيمة الحقيقية.
الوعد يخصّ الإجراء، وهذا هو الجزء الأسهل في إساءة قراءته. فما إن تُجمع البيانات وتثبت الأرقام حتى يصير المجال إمّا محتوياً للحقيقة وإمّا لا، ولا يبقى احتمال يُسنَد. والقول بأنّ هناك احتمال 95% أن يقع الوسيط داخل مجال محسوب يعامل مجهولاً ثابتاً كأنّه عشوائي. والقراءة الصالحة تكراريّة: المجالات المبنيّة هكذا تصيب 95% من الوقت، وهذا واحد منها.
يظهر مصدران للريبة حين يكون تشتّت المجتمع مجهولاً، ولا يحسب الكمّ المعياري إلّا أوّلهما. فعند عيّنة من 10 يعطي الكمّ المعياري 1.959964 تغطية دقيقة قدرها 0.918351 بدل 0.95، لأنّ تقدير التشتّت نفسه غير مؤكّد؛ وكمّ ستيودنت 2.262157 هو التصحيح، وهو مع المشاهدات الطبيعية دقيق لا متحفّظ. والفجوة تضيق مع تراكم البيانات: عند 29 درجة حرّية يبلغ الكمّ 2.045230 سلفاً.
أمّا لنسبة، فالمجال المعتاد يُخفق على نحو يستحقّ أن يُرى كاملاً، لأنّ العيّنة السيّئة الحظّ نفسها تزيح المركز وتخطئ في تقدير العرض. عند n = 50 يعطي التعداد الدقيق لكلّ الحالات الـ51 تغطية 0.878917 عند p = 0.1 و0.394848 عند p = 0.01 - والأخيرة لأنّ 0.605006 من تلك العيّنات لا تتضمّن أيّ نجاح، فينعدم الخطأ المعياري المقدَّر وينكمش المجال إلى نقطة واحدة. أمّا مجال ويلسون، الذي لا يشتقّ عرضه من الزلّة نفسها، فيعطي 0.970308 حيث يعطي المعتاد 0.878917.
كيفية الحساب
x̄ ± t_{α/2,n−1}·s/√n, coverage = P(L(X) ≤ θ ≤ U(X))
حيث
- x̄, s
- متوسّط العيّنة وانحرافها المعياري، وكلاهما محسوب من البيانات
- t_{α/2,n−1}
- كمّ ستيودنت؛ ويساوي 2.262157 لمجال 95% عند n = 10
- θ
- قيمة المجتمع، ثابتة ومجهولة - غير عشوائية، ولهذا يقع الاحتمال على L وU
- L(X), U(X)
- الطرفان، وهما عشوائيان لأنّهما يُحسبان من العيّنة
مثال على مجال الثقة
عشرون ألف عيّنة محاكاة من الحجم 10 من مجتمع طبيعي، تعطي كلّ منها مجال ستيودنت بثقة 95% للمتوسّط، تغطّي المتوسّط الحقيقي 0.95 من الوقت. واستبدال كمّ ستيودنت بالكمّ المعياري يخفض التغطية الدقيقة إلى 0.918351.
المجال المعتاد لنسبة عند n = 50، مقوَّماً بدقّة على الحالات الـ51 الممكنة: 0.919867 عند p = 0.05، و0.878917 عند p = 0.1، و0.937531 عند p = 0.2، و0.935091 عند p = 0.5. ومجال ويلسون عند النقاط نفسها يعطي 0.962224 و0.970308 و0.950701 و0.935091 - مطابقاً عند p = 0.5، وأفضل جوهرياً حيث يُخفق المعتاد.
التغطية ليست مطّردة في حجم العيّنة. فعند p = 0.2 يغطّي المجال المعتاد 0.951214 عند n = 23 و0.872862 عند n = 24: مشاهدة واحدة إضافية تكلّف نحو ثماني نقاط. وتهبط التغطية من حجم إلى الذي يليه في 29 من الخطوات الـ180 بين 20 و200، لكنّ ثلاثة فقط من هذه الهبوطات تتجاوز خمس نقاط.
الأسئلة الشائعة
هل هناك احتمال 95% أن تقع القيمة الحقيقية في مجالي؟
لا. القيمة الحقيقية ثابتة ومجالك ثابت، فهي داخله أو ليست. والذي يساوي 95% هو معدّل نجاح الإجراء الذي أنتجه على المدى الطويل.
هل يعني المجال الأوسع دراسة أسوأ؟
يعني دراسة أقلّ دقّة، وهذا صدق لا سوء. فالعرض يتناقص كجذر حجم العيّنة: مع انحراف معياري للمجتمع قدره 2 يكون الخطأ المعياري 0.4 عند n = 25 و0.2 عند n = 100، فكلّ تنصيف يكلّف أربعة أضعاف البيانات.
متى ينبغي تجنّب المجال المعتاد لنسبة؟
كلّما أمكن أن تقترب النسبة من 0 أو 1، وعملياً أكثر من ذلك. فتغطيته متذبذبة في حجم العيّنة لا متقاربة، ومن ثمّ لا تجعله فحوص مثل np > 5 موثوقاً. ومجال ويلسون بديل مباشر عنه.
الخلاصة
يورد مجال الثقة الدقّة بصدق، شريطة أن يُقرأ وعده خاصيّةً للإجراء لا للمجال الماثل أمامك. والوعد لا يفوق بناءه جودةً: فالمجال المعتاد لنسبة يغطّي 0.878917 حيث يزعم 0.95، ومن ثمّ فاختيار المجال قرار حقيقي.