فهم الاستراتيجية المختلطة
بعض الألعاب لا حلّ حتميًا مستقرًا لها. ففي لعبة مطابقة القطع النقدية يمكن استباق أي اختيار ثابت وهزيمته، فلا زوج من الاستراتيجيات الصرفة مستقر. وتوسّع الاستراتيجيات المختلطة فضاء الخيارات بالسماح بعشونة مقصودة، فيُستعاد حلّ مستقر.
والخاصية الحاسمة عدم القابلية للتنبؤ. فإن أمكن التنبؤ باختيار لاعب استطاع الخصم التحضير له خصيصًا. والعشونة وفق احتمالات ثابتة تجعل الاختيار المعيّن غير قابل للتنبؤ مع إبقاء التوزيع على المدى الطويل مقصودًا. ويلاحظ راسل ونورفيغ أن وجود حلّ في الاستراتيجيات المختلطة وحدها لا يقتضي أن يعشون اللاعب حرفيًا ليكون عقلانيًا؛ فالاستراتيجيات المختلطة إنشاءات نظرية لتحليل اللعبة.
ولاحتمالات الخلط عند التوازن بنية مميّزة مفاجئة أول الأمر: إذ يخلط كل لاعب على نحو يجعل الآخر غير مبالٍ بين خياراته. فلو فضّل الخصم ردًّا تفضيلًا قاطعًا للعبه وحده، ولاستطاع اللاعب الأول عندئذ استغلال تلك القابلية للتنبؤ. وعدم المبالاة هو بالضبط الشرط الذي ينتفي معه أي نمط قابل للاستغلال.
وهذا هو التوسيع الذي يجعل مبرهنة ناش للوجود ناجعة. فبالاقتصار على الاستراتيجيات الصرفة لا توازن البتة في كثير من الألعاب المنتهية. والسماح بالعشونة يضمن وجود توازن واحد على الأقل دائمًا، وهو ما يجعل تحليل التوازن قابلًا للتطبيق على صنف الألعاب المنتهية كله لا على مجموعة جزئية محظوظة.
مثال على الاستراتيجية المختلطة
في لعبة مطابقة القطع النقدية، لنفترض أن لاعبًا أظهر الوجه 70% من الوقت. عندئذ يختار الخصم في كل مرة الردّ الذي يربح ضد الوجه، ويربح في المحصلة. وأي خروج عن الخلط المتساوي قابل للاستغلال بهذه الطريقة.
والخلط بالنصف تمامًا يزيل الاستغلال. فكل ردّ يستطيع الخصم اختياره يعطي العائد المتوقع نفسه ضد قطعة عادلة، فلا استراتيجية مضادة أفضل من غيرها، ولا حافز لأيّ لاعب على التغيير.
والاستدلال نفسه يفسّر تجنّب المتنافسين في الأوضاع الخصومية حقًا للأنماط المتوقَّعة. فأي انتظام في السلوك معلومةٌ يستطيع الخصم التصرف بناءً عليها، والعشونة هي بالضبط إزالة تلك المعلومة.
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون العشونة عقلانية أصلًا؟
لأن القابلية للتنبؤ قابلة للاستغلال في الأوضاع الخصومية. فإن أمكن مواجهة أي اختيار ثابت، صار أفضل المتاح ألّا تكون متوقَّعًا، والعشونة بالاحتمالات الصحيحة هي ما يحقّق ذلك.
لماذا تجعل احتمالات التوازن الخصمَ غير مبالٍ؟
لأنه لو فضّل ردًّا تفضيلًا قاطعًا للعبه دائمًا، ولأمكن عندئذ استغلال تلك القابلية للتنبؤ. ولا ينتفي أي نمط يستفيد منه اللاعب الأول إلا حين يكون الخصم غير مبالٍ، وهذا ما يجعل الوضع مستقرًا.
هل يعشون اللاعبون الحقيقيون فعلًا؟
ليس عادةً بصورة حرفية محسوبة. فأفضل قراءة للتوازنات المختلطة أنها وصف للسلوك الإجمالي أو للاعتقادات التي يحملها الخصوم، لا تعليمة باستشارة مولّد أعداد عشوائية. فالمضمون التحليلي في الاحتمالات لا في الآلية.
الخلاصة
الاستراتيجية المختلطة تعشون بين الأفعال، وقبول مثل هذه الاستراتيجيات هو ما يضمن أن لكل لعبة منتهية توازنَ ناش. وخلط التوازن يترك الخصوم غير مبالين، وهو بالضبط الشرط الذي لا يبقى معه نمط قابل للاستغلال.