مجالُ الـ95% الذي يغطّي 81% من الوقت

مجال الثقة 95% يعد بشيء واحد: أن يحتوي على المَعلَم الحقيقي في 95% من العيّنات المتكرّرة. ولنسبةٍ ما يمكن فحص ذلك بالضبط. فليس ثمّة إلّا $n + 1$ عيّنة ممكنة، فتبني المجال لكلٍّ منها، وتسأل هل يحتوي $p$، ثم تجمع الاحتمالات الحدّيّة لِما يحتويه. بلا محاكاة ولا تقريب.

افعل ذلك للمجال المعياري $\hat{p} \pm 1.96\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$، عند $n = 30$ و$p = 0.10$:

$$0.8085.$$

أي أنّ عيّنةً من كل خمس تنتج مجالًا لا يحتوي الحقيقة. والمجال موسومٌ بـ95%.

أ. وليس هذا تحفّظًا على العيّنات الصغيرة

الدفاع المعتاد أنّ 30 عيّنة صغيرة. وإليك الحساب نفسه عبر مدى من الأوضاع، ومعه بديلان:

فمئة رصدة لحدث نسبته 5% تعطي 0.8775 بعد. والسطر الأخير جدير بالوقوف عنده وحده: عند أفضل نسبة ممكنة، وبمئة رصدة، يغطّي المجال 94.31% لا 95%. فهو لا يكون مضبوطًا قطّ، وفي ركن فضاء المَعالم الذي تعيش فيه معظم الأسئلة الحقيقيّة - أحداث نادرة وعيّنات متوسّطة - لا يقترب.

ب. المزيد من البيانات لا يصلحه باطّراد

التغطية لا تصعد مع كبر $n$. عند $p = 0.10$:

فالانتقال من 25 رصدة إلى 30 يهبط بالتغطية من 0.9187 إلى 0.8085. والانتقال من 45 إلى 50 يهبط بها من 0.9356 إلى 0.8789.

في الشكل، اختر 0.10 بجانب القيمة الحقيقية p واسحب حجم العيّنة n إلى 30، فتقرأ التغطية عند n القيمة 80.9%، وهي 0.8085 المذكورة أعلاه.

وليس التذبذب ضجيجًا، إذ لا ضجيج هنا: فكل خانة جمعٌ مضبوط. وإنّما يقع لأنّ مجموعة قيم $\hat{p}$ الممكنة متقطّعة، فمع تغيّر $n$ تعبر واحدةٌ من النتائج الـ$n + 1$ حدَّ «احتواء $p$» فتأخذ معها احتمالها الحدّي كلَّه. وكل قول من نوع «المجال سليم متى كان $n$ كبيرًا بما يكفي» عليه أن ينجو من هذا الجدول، وقواعد الإبهام المعتادة ($n\hat{p} > 5$ وأخواتها) لا تنجو.

ج. الحالة المنحلّة

خُذ $n = 40$ و$p = 0.001$. تغطية المجال المعياري هي

$$0.0392.$$

مجالُ 95% يحتوي الحقيقة في 4% من العيّنات. والآليّة مباشرة: $P(k = 0) = 0.9608$، وعند $k = 0$ يكون التقدير $\hat{p} = 0$، والخطأ المعياري $\sqrt{0 \cdot 1 / n} = 0$، فيكون المجال النقطة الوحيدة $[0, 0]$، وهي لا تحتوي $0.001$. أي أنّ الصيغة تُعلن يقينًا تامًّا في الموضع الذي لم ترَ فيه شيئًا.

وهذه هي الحالة التي تظهر في الإنتاج: العطل النادر، والنقرة النادرة، والأثر الجانبي النادر.

د. ما البديل

كلا البديلين في الجدول سطرٌ واحد، ولا يحتاج أيٌّ منهما فكرةً جديدة.

• ويلسون. اعكس الاختبار بدل التقدير: أبقِ قيم $p$ التي لا ترفضها البيانات. فلا يعود المجال متمركزًا على $\hat{p}$، ولا ينهار إلى نقطة أبدًا.
• أغريستي-كول. أضف نجاحين وإخفاقين، ثم طبّق الصيغة المعتادة على الأعداد المعدَّلة. وهو مجال Wald مع إبعاد التقدير عن الحدّ، وهو في الجدول أعلاه أكثر البديلين تحفّظًا.

والدرس العامّ هو ما يتيحه الحساب المضبوط: التغطية تُحسب، فاحسبها. فهي لنسبةٍ جمعٌ منتهٍ. ولغير ذلك، محاكاةُ توزيع المعاينة وعدُّ كم مرّة احتوى المجال القيمةَ التي وُلِّدت منها البيانات تأخذ أسطرًا قليلة، وهي الطريق الوحيد لمعرفة هل الرقم المكتوب على البطاقة هو الرقم الذي تحصل عليه.