الأسبوع الذي لم يكن ممكنًا

آلة في واحدة من ثلاث حالات: سليمة، أو في تدهور، أو معطّلة. ولا يمكن أن تقفز من السليمة إلى المعطّلة مباشرةً؛ لا بدّ أن يتدهور شيء أوّلًا ولو ليوم واحد. وبصيغة نموذج انتقال، مع كون حالة العطل ماصّة:

$$P(X_{t+1} \mid X_t) = \begin{array}{l|ccc} & \text{healthy} & \text{degrading} & \text{failed} \\ \hline \text{healthy} & 0.95 & 0.05 & 0 \\ \text{degrading} & 0.10 & 0.60 & 0.30 \\ \text{failed} & 0 & 0 & 1 \end{array}$$

ويطلق مِجسّ اهتزاز إنذارًا باحتمال 0.1 حين تكون الآلة سليمة، و0.2 حين تكون في تدهور، و0.9 بعد أن تتعطّل. وتبدأ الآلة سليمة. وعلى مدى أربعة أيّام يُبلغ المِجسّ

هدوء، ثم هدوء، ثم إنذار، ثم إنذار.

أ. الجواب يومًا بيوم

الحساب البديهي هو، لكل يوم، احتمال كل حالة بمعلوميّة الأرصاد الأربعة جميعًا. وهذا هو التنعيم، وهو ما تعرضه لوحة المراقبة. وبالجمع على كل المسارات:

اقرأ العمود الأخير من أعلى إلى أسفل: سليمة، سليمة، معطّلة، معطّلة.

هذا التقرير مستحيل. فهو يجعل الآلة سليمةً في اليوم الثاني ومعطّلةً في الثالث، ونموذج الانتقال يعطي تلك الخطوة احتمالًا صفرًا. والمتتالية ليست بعيدة الاحتمال فحسب، ولا هي تلخيص تقريبي لشيء قريب منها. فاحتمالها بالضبط

$$P(\text{healthy}, \text{healthy}, \text{failed}, \text{failed} \mid e_{1:4}) = 0.$$

ولم يخطئ الحساب في شيء. فكلٌّ من هذه الأرقام الأربعة صحيح، وكلٌّ منها يجيب عن سؤال يخصّ يومًا واحدًا، وركم أربع إجابات عن أربعة أسئلة منفصلة لا ينتج إجابةً عن سؤال يخصّ الأسبوع.

ب. السؤال الذي يجيب عنه فيتربي

السؤال الآخر هو: أيّ متتالية كاملة هي الأرجح؟ وهو تعظيم واحد على المسارات $3^4 = 81$، وتؤدّيه خوارزميّة فيتربي في زمن خطّي بعدد الأيّام. والجواب هنا

سليمة، ثم في تدهور، ثم معطّلة، ثم معطّلة،

باحتمال بعدي قدره 0.411331. وهي متتالية مغايرة لتلك التي أعطاها الحساب يومًا بيوم، وتقول تحديدًا إنّ الآلة قضت اليوم الثاني في تدهور - وهو اليوم الذي وضعت هامشيّته التدهور في المرتبة الثانية، عند 0.494358 مقابل 0.505642 للسليمة.

وهذا الفارق هو الدرس كلّه في رقم واحد. فاليوم الثاني يكاد يكون رمية عملة. والقاعدة اليوميّة تأخذ الجانب الفائز بفارق 1.1 نقطة ولا تسأل قطّ إلامَ يلزمها ذلك الاختيار. أمّا فيتربي فلا يسأل إلّا عن المتتاليات، فيقبل يومًا ثانيًا أسوأ قليلًا في مقابل يوم ثالث يمكن بلوغه أصلًا.

يعرض الشكل الخلاف نفسه في عالم المظلّة، حيث كل انتقال مسموح، فالهامشيّات المرصوفة يومًا بيوم لا تكون هناك إلّا مسارًا غير الأرجح، لا مسارًا مستحيلًا.

ج. صاحب المرتبة الثانية حكاية أخرى بالكامل

ثاني أرجح أسبوع ليس تنويعًا صغيرًا على الأوّل:

أفضل تفسير أنّ الآلة تعطّلت في اليوم الثالث. وثانيه، عند 0.326541، أنّه لم يحدث شيء البتّة وأنّ آلةً سليمة أطلقت إنذارين كاذبين متتاليين، وهو ما تفعله باحتمال $0.1 \times 0.1$ في أيّ يومين متجاورين. ولا يمكن أن تكون الحكايتان قريبتين من الصواب معًا. هما روايتان متنافستان، والفجوة بينهما هي الدليل الذي يقوم عليه قرار الصيانة فعلًا.

وهذا يضع الرقم الرئيس في موضعه أيضًا. فالمتتالية الأرجح تحمل 0.411331 من الكتلة البعديّة، أي أنّ أفضل تفسير للأسبوع خاطئ نحو 59% من الوقت. فيتربي يعيد منوال توزيع على المتتاليات، لا إعادة بناءٍ لما جرى، وذكره من دون الكتلة التي تسنده يخفي مدى ضآلة فوزه.

د. أيّهما تريد

السؤالان مختلفان حقًّا، وكلٌّ منهما مناسب لعمل مختلف.

• التنعيم، يومًا بيوم، هو ما تريده حين يكون القرار يوميًّا: هل كانت هذه المعاملة احتياليّة، هل كان المريض في رجفان أذيني خلال هذه الدقيقة، هل يُحجَر إنتاج هذا اليوم. فكل جواب يُستعمل وحده ولا يُركَّب في سرد.
• المتتالية الأرجح هي ما تريده حين تُقرأ المخرجات بوصفها حكاية: نصًّا مفرَّغًا، أو تعليقًا على جينات، أو تقرير عطل، أو وسمًا صرفيًّا. فكل ما سيقرؤه إنسان أو برنامج لاحق بوصفه متتاليةً يجب أن يكون متّسقًا داخليًّا، ولا يضمن ذلك إلّا التعظيم المشترك.

والخلل الذي ينبغي ترقّبه نظامٌ يحسب الأوّل ويعرضه بوصفه الثاني. وهو شائع، لأنّ الهامشيّات هي ما ينتجه المرشِّح أصلًا وركمها لا يكلّف شيئًا. وسيبدو التقرير المركوم معقولًا في الغالب. وما إن يحتوي نموذج الانتقال على صفر بنيوي، كما هو حال كل نموذج واقعي تقريبًا، حتى يصير التقرير أحيانًا لا خاطئًا فحسب بل مستحيلًا، ولا ينتبه إلى ذلك شيء في المسار.

هـ. الفحص الرخيص

إن كنت تركم هامشيّات فبوسعك كشف المشكلة من دون تغيير طريقتك. خذ المتتالية المُبلَّغ عنها وقيّم احتمالها تحت نموذج الانتقال: اضرب احتمالات الانتقال على امتدادها. فإن كان الجداء صفرًا فالتقرير يصف شيئًا يقول النموذج إنّه لا يقع.

يكلّف ذلك مرورًا واحدًا على المخرجات، وفي هذا المثال ينعدم الجداء بين اليوم الثاني والثالث. والإبلاغ عن الأرقام اليوميّة الأربعة بوصفها أربعة أرقام أمانة. وقراءتها من أعلى إلى أسفل هي منشأ الأسبوع المستحيل.