مئة ألف عيّنة، أربعمئة منها حقيقيّة

شبكة السطو خمسة متغيّرات ثنائيّة: سطوٌ وزلزالٌ قد يُطلقان إنذارًا، وجاران، جون وماري، قد يتّصلان أو لا حين ينطلق. وقد اتّصل كلاهما. فما احتمال أن يكون قد وقع سطو؟

بالتعداد يكون الجواب مضبوطًا:

$$P(\text{Burglary} \mid j, m) = 0.284172, \qquad P(j, m) = 0.00208410.$$

والآن افعلها بالمعاينة، بمئة ألف عيّنة، وهو ما يبدو أكثر من كافٍ لرقمين معنويّين.

أ. المعاينة بالرفض تُبقي 183

اسحب إسنادًا كاملًا من الشبكة، واطرحه ما لم يتّصل الجاران معًا، ثم خُذ متوسّط حالات السطو بين الناجين. من 100,000 سحبة:

$$183 \; (0.183\%), \qquad \hat{P} = 0.2568.$$

وهذا بالضبط ما يتنبّأ به $P(j, m) = 0.00208$. فالشاهد نادر، ويُطرح جُلّ العيّنات، ويستند التقدير إلى 183 منها. وهو يبتعد بمقدار 0.027، أي نحو 10% من المقدار المقدَّر.

وليس هذا عيبًا في التنفيذ. فمعدّل القبول هو احتمال الشاهد، وكلفة المعاينة بالرفض تتناسب من ثَمّ مع $1/P(e)$، وأيّ رصدٍ محدّد بعض الشيء يجعلها يائسة. فعشرة أرصاد ثنائيّة متكافئة لا تُبقي إلّا عيّنةً من كل ألف.

ب. الترجيح بالأرجحيّة يُبقيها كلَّها، ويساوي 396

العلاج المعتاد أن تكفّ عن معاينة متغيّرات الشاهد. ثبّتها على قيمها المرصودة، وعايِن ما عداها، وأعطِ كل عيّنة وزنًا يساوي احتمال الشاهد بمعلوميّة آبائه. ولا يُطرح شيء.

صار التقدير الآن يستعمل 100,000 عيّنة، والمقياس الأمين لما يساويه هو حجم العيّنة الفعّال

$$\text{ESS} = \frac{\left(\sum_i w_i\right)^2}{\sum_i w_i^2}.$$

والمقيس: 396.4، أي 0.396% من العيّنات المسحوبة، بتقدير 0.2473.

فالطريقتان، بميزانيّة واحدة، تساويان 183 و396 عيّنة. والترجيح بالأرجحيّة متقدّم بعامل اثنين، وعلى هذه البذرة يكون تقديره النقطي أبعد الاثنين عن الحقيقة، وهو الدرس الصحيح عمّا تشتريه أربعمئة عيّنة.

في الشكل، انتقل إلى P(سطو | المكالمتان). يتوقّف مزلاج العيّنات المسحوبة فيه عند 50,000 على بذرة ثابتة، فتُبقي معاينة الرفض 102 عيّنة لا 183 من 100,000 كما هنا، ولا يعرض الشكل حجم العيّنة الفعّال.

ج. من أين جاء الـ396

الوزن هنا لا يأخذ إلّا قيمتين، لأنّ ما يهمّ جون وماري هو حال الإنذار وحده:

$$w = 0.9 \times 0.7 = 0.63, \qquad w = 0.05 \times 0.01 = 0.0005,$$

الأولى إن انطلق الإنذار، والثانية إن لم ينطلق.

وينطلق الإنذار باحتمال 0.002516، فينال الوزنَ الكبير في 100,000 عيّنة نحو 251.6 منها. وتلك الـ252 عيّنة تحمل

• 76.07% من الوزن الكلّي، و
• 99.975% من مربّع الوزن الكلّي،

ومربّع الوزن هو ما يعدّه مقام حجم العيّنة الفعّال. والتنبّؤ $\text{ESS} = 434.8$ مقابل 396.4 مقيسًا على تشغيل واحد.

ولا خلل في المعاين. فجُلّ ما يسحبه عوالمُ لم ينطلق فيها الإنذار، واتّصال الجارين في عالَم كهذا مصادفةٌ تساوي وزنًا قدره 0.0005. أمّا العيّنات الـ99,748 الباقية فليست معلومة؛ بل خطأ تقريب له تباين.

د. ما العمل

• أبلغ عن حجم العيّنة الفعّال، لا عن عدد العيّنات المسحوبة. ثلاثة أسطر، وهو الرقم الوحيد الذي يصف ما يستند إليه التقدير. فحجم فعّال قدره 396 من 100,000 سحبة نتيجة؛ أمّا «100,000 عيّنة» فميزانيّة.
• توقّع هبوط الحجم الفعّال كلّما تراكم الشاهد. فكل رصد إضافي يضرب الأوزان بعامل آخر أصغر من واحد، وفي شبكة يقع فيها الشاهد أسفل سبب نادر يكون الانهيار فوريًّا لا تدريجيًّا.
• عايِن من شيء أقرب إلى التوزيع البعدي. ولهذا وُجدت معاينة غِبس وسائر طرائق مونتي كارلو بسلاسل ماركوف: تنفق جهدها حيث يقع التوزيع البعدي فعلًا، بدل السحب من القبلي على أمل.
• عامل أيّ عدد كبير للعيّنات في تقرير بوصفه سؤالًا بلا جواب. فهو يقول ما أُنفق لا ما تُعلِّم.