تحليل المركّبات الرئيسية

البيانات عالية الأبعاد كثيرًا ما تكون أقل تعقيدًا بكثير مما يوحي به عدد أعمدتها، لأن المتغيرات تتحرك معًا. ويجد تحليل المركّبات الرئيسية الاتجاهات التي تتغير البيانات على امتدادها فعلًا. فالمركّبة الرئيسية الأولى هي اتجاه أكبر تباين؛ والثانية اتجاه أكبر تباين متبقٍّ متعامد على الأولى؛ وهكذا.

ورياضيًا هذه الاتجاهات هي المتجهات الذاتية لمصفوفة التغاير، والقيم الذاتية المقابلة تعطي التباين على امتداد كل منها. ولأن المتجهات الذاتية لمصفوفة متماثلة متعامدة، فالإحداثيات الجديدة غير مترابطة بحكم البناء، وهذا مفيد بذاته كثيرًا حين تكون المتغيرات الأصلية شديدة الترابط الخطي.

ويتبع خفض الأبعاد من الترتيب. فلأن المركّبات مرتَّبة بحسب التباين المفسَّر، كثيرًا ما تستأثر أوائلها بمعظم المجموع، ويمكن طرح الباقي بخسارة متواضعة. ونسبة التباين التي تفسّرها كل مركّبة، مرسومةً بدلالة رقم المركّبة، هي الأداة القياسية لتقرير كم مركّبة يُحتفظ بها. ويصف جيمس وزملاؤه قراءة كوع على هذا المخطط، مشيرين في إحدى مجموعات البيانات إلى أن الانحناءة بعد المركّبة السابعة تقريبًا توحي بقلة الفائدة من فحص المزيد.

والكلفة الرئيسية قابلية التفسير. فالمركّبة الرئيسية تركيبة موزونة من كل متغير أصلي، فنادرًا ما تقابل شيئًا قابلًا للتسمية. ويفترض التحليل أيضًا أن البنية المثيرة للاهتمام خطية ومحاذية للتباين المرتفع، وكلاهما غير مضمون: فقد يكون اتجاه منخفض التباين هو بالضبط ما يفصل الفئات، والتحليل غير موجَّه فلا يعرف هدف التنبؤ النهائي ولا يعنيه.

لنفترض أن الطول بالسنتيمترات والطول بالبوصات مسجَّلان معًا. هما مترابطان ترابطًا تامًا، فالبيانات تقع على مستقيم في بُعدين. ويجد التحليل أن المركّبة الأولى تمتد على ذلك المستقيم وتفسّر التباين كله تقريبًا، بينما لا تفسّر الثانية شيئًا يُذكر. وهكذا تبيّن أن بُعدًا واحدًا زائد.

ومع مئة سؤال استبيان مترابط قد تفسّر المركّبات العشر الأولى مجتمعةً 80% من التباين. واستبدال تلك العشر بالمئة عمود يخسر خُمس التغيّرية لكنه يزيل تسعين بالمئة من الأعمدة، والنماذج المُلاءَمة لاحقًا على المركّبات أقل ميلًا بكثير إلى فرط الملاءمة.

وتوحيد القياس مهم قبل هذا كله. فالتحليل يعظّم التباين، والتباين يتوقف على الوحدات، فمتغير مقيس بالأمتار وآخر بالمليمترات ليسا قابلين للمقارنة. وبلا توحيد للقياس ستتبع المركّبة الأولى ببساطة أيّ متغير صادف أن مقياسه العددي هو الأكبر.