الاحتمالات من الصفر: لغة اللايقين

تكاد كل فكرة في هذا الموقع تستند في نهاية المطاف إلى جملة واحدة: نحن لا نعرف ما الذي سيحدث، لكن يمكننا أن نقول ما مدى ترجيح كل نتيجة. تجعل هذه المقالة تلك الجملة دقيقة. نبني الاحتمالات انطلاقاً من بديهيتين، ونشتقّ القواعد المألوفة بدل افتراضها، وننتهي بالأدوات التي تحتاجها كل مقالة لاحقة في هذا المسار.

لا شيء هنا يُؤخذ تسليماً. كل قاعدة أدناه مشتقّة من البديهيتين، بحيث تعرف في النهاية لا ما تقوله الصيغ فحسب، بل لماذا يجب أن تكون صحيحة.

أ. العوالم الممكنة وفضاء العيّنة

يصوغ راسل ونورفيغ الاحتمال بلغة العوالم الممكنة. تقول العبارة الاحتمالية ما مدى ترجيح كل عالم، في حين تكتفي العبارة المنطقية بالقول أي العوالم مستبعَد.

مجموعة كل العوالم الممكنة هي فضاء العيّنة، ويُكتب $\Omega$ (أوميغا كبيرة). ويُكتب العالم المفرد $\omega$. وتُعرّفه خاصيتان:

• العوالم متنافية - لا يمكن أن يتحقّق اثنان منها معاً.
• العوالم شاملة - لا بدّ أن يتحقّق أحدها.

لرمية واحدة لنرد اعتيادي، يكون فضاء العيّنة

$$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.$$

ولرمية نردين قابلين للتمييز هناك 36 عالماً ممكناً: $(1,1), (1,2), \dots, (6,6)$. ويستحق هذا وقفة، لأن العدّ هو أكثر موضع يخطئ فيه المبتدئون: العوالم أزواج مرتّبة، فـ $(2,5)$ و$(5,2)$ عالمان مختلفان لا عالم واحد.

يُسنِد نموذج الاحتمال عدداً $P(\omega)$ إلى كل عالم ممكن.

ب. البديهيتان

كل شيء ينبع من شرطين على ذلك الإسناد:

$$0 \le P(\omega) \le 1 \quad \text{for every } \omega, \qquad\text{and}\qquad \sum_{\omega \in \Omega} P(\omega) = 1 .$$

بعبارة أخرى: لا احتمال سالب ولا احتمال أكبر من واحد، ومجموع احتمالات كل العوالم الممكنة يساوي واحداً بالضبط - لا بدّ أن يحدث شيء ما.

هذا هو الأساس كلّه. تعود هاتان البديهيتان إلى كتاب كولموغوروف أسس نظرية الاحتمالات (1950)، وكل صيغة في بقية هذه المقالة نتيجة لهما.

فإذا كان النردان متوازنين ولا يؤثّر أحدهما في الآخر، فرضَ التماثل أن يحمل كل عالم من العوالم الـ36 الاحتمال نفسه، ولأن مجموعها يجب أن يكون 1، فكلٌّ منها $1/36$.

ج. الأحداث: من العوالم إلى القضايا

نادراً ما يهمّنا عالم مفرد. ما يهمّنا قضية مثل «الرمية زوجية». والحدث هو مجموعة العوالم التي تصدق فيها القضية، واحتماله مجموع احتمالاتها:

$$P(a) = \sum_{\omega \in a} P(\omega).$$

لنرد متوازن واحد و$a =$ «زوجي» $= \{2, 4, 6\}$:

$$P(a) = \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{3}{6} = 0.5 .$$

لماذا «المؤاتية على الكلّية» حالة خاصة لا تعريف. عدّ النتائج والقسمة يعمل فقط حين تكون كل العوالم متساوية الترجيح. فالنرد المغشوش يملك نموذج احتمال سليماً تماماً؛ غاية ما في الأمر أنه يُسنِد قيم $P(\omega)$ غير متساوية. المجموع أعلاه هو التعريف الحقيقي وينطبق دائماً.

د. اشتقاق قاعدة المتمّم

وهذه هي الآلية وهي تعمل. العوالم التي يصدق فيها $a$ والعوالم التي يصدق فيها $\neg a$ («ليس $a$») منفصلة، ومعاً تشكّل $\Omega$ كلّه. وبتقسيم مجموع البديهية الثانية:

$$\sum_{\omega \in a} P(\omega) \;+\; \sum_{\omega \in \neg a} P(\omega) = \sum_{\omega \in \Omega} P(\omega) = 1 ,$$

وهو بالضبط

$$P(a) + P(\neg a) = 1 \quad\Longrightarrow\quad P(\neg a) = 1 - P(a).$$

فإذا أعطى نموذجٌ حدثاً احتمالاً قدره $0.05$، كان احتمال عدم وقوعه $0.95$ - وأنت تعرف ذلك الآن بوصفه مبرهنة، لا حدساً.

هـ. قاعدة الجمع، والفخّ الذي تتجنّبه

بالنسبة لحدثين قد يتقاطعان، يؤدي جمع الاحتمالين إلى عدّ العوالم المشتركة مرتين. وطرح التقاطع مرة واحدة بالضبط يعطي

$$P(a \text{ or } b) = P(a) + P(b) - P(a \text{ and } b).$$

مثال محلول. اسحب ورقة واحدة من مجموعة قياسية من 52 ورقة. ليكن $a$ = «إنها من الكُبّة» و$b$ = «إنها ملك».

• $P(a) = 13/52$ - ثلاث عشرة ورقة كُبّة.
• $P(b) = 4/52$ - أربعة ملوك.
• $P(a \text{ and } b) = 1/52$ - ملك كُبّة واحد بالضبط.

$$P(a \text{ or } b) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \approx 0.3077 .$$

أما الجمع الساذج فكان سيعطي $17/52 \approx 0.3269$، بعدّ ملك الكُبّة مرتين. وحدّ التقاطع ليس تفصيلاً تقنياً، بل هو الفارق بين إجابة صحيحة وأخرى خاطئة.

و. الاحتمال الشرطي

تعلّم شيء جديد يغيّر ما ينبغي أن نتوقّعه. واحتمال $a$ بشرط تحقّق $b$ مُعرَّف بأنه

$$P(a \mid b) = \frac{P(a \text{ and } b)}{P(b)}, \qquad P(b) > 0 .$$

الحدس: نحصر الانتباه في العوالم التي يصدق فيها $b$، ثم نسأل أي نسبة من تلك المجموعة المحصورة يصدق فيها $a$ أيضاً. والقسمة على $P(b)$ هي ما يعيد تسوية المجموعة المحصورة ليعود احتمالها الكلي إلى 1.

وبإعادة الترتيب نحصل على قاعدة الضرب:

$$P(a \text{ and } b) = P(b)\, P(a \mid b).$$

مثال محلول. في مجتمع ما، ينتمي 10٪ من الأفراد إلى فئة عالية المخاطر. وداخل تلك الفئة يقع حدث ما باحتمال 20٪. فاحتمال أن يكون فرد مُختار عشوائياً عالي المخاطر و يتعرّض للحدث هو

$$P(\text{high risk and event}) = 0.10 \times 0.20 = 0.02 ,$$

أي 2٪ من المجتمع كلّه.

ز. الاستقلال، ولماذا يجب أن يُستحقّ

يكون الحدثان مستقلّين حين لا تخبرك معرفة أحدهما بشيء عن الآخر - وصورياً حين يكون $P(a \mid b) = P(a)$. وبالتعويض في قاعدة الضرب تنهار إلى الصيغة التي يتذكّرها معظم الناس:

$$P(a \text{ and } b) = P(a)\,P(b) \qquad \text{(independent events only).}$$

فلحدثين لا رابط بينهما فعلاً، احتمال كلٍّ منهما $0.03$، يكون احتمال وقوعهما معاً $0.03 \times 0.03 = 0.0009$، أي $0.09\%$.

أغلى خطأ في الاحتمالات التطبيقية. ضرب الاحتمالات صحيح فقط في ظل الاستقلال. فحين تدفع سببٌ مشترك نتائجَ كثيرة دفعةً واحدة - نمط إخفاق مشترك، أو صدمة تعمّ السوق، أو اعتماد وحيد في أعلى السلسلة - تكون الأحداث شديدة الترابط، ويقلّل الضرب تقليلاً فادحاً من احتمال وقوع كثير منها معاً. الاستقلال افتراض يجب التحقّق منه في ضوء العملية المولّدة للبيانات، لا افتراض مجاني.

ح. التحقّق من حساب النرد والورق

الأعداد أعلاه صغيرة بما يكفي للتحقّق منها بالعدّ الشامل، وهو ما يستحق أن يُفعل مرة واحدة كي تثق بالقواعد لا بالحساب:

يطبع تشغيله 16 16 4/13: الاتحاد المعدود مباشرةً والاتحاد المحسوب بقاعدة الجمع متطابقان تماماً، والاحتمال هو $4/13$ المشتقّ أعلاه.

الخلاصات الأساسية

• نموذج الاحتمال هو فضاء عيّنة $\Omega$ من عوالم ممكنة متنافية وشاملة، يحمل كلٌّ منها احتمالاً.
• البديهيتان هما أن الاحتمالات تقع في $[0, 1]$ وأن مجموعها على $\Omega$ يساوي
  1. وكل ما عدا ذلك مشتقّ.
• احتمال الحدث هو المجموع على العوالم التي يصدق فيها؛ هذا هو التعريف، و«المؤاتية على الكلّية» ليست سوى حالته الخاصة متساوية الترجيح.
• «أو» تتطلّب قاعدة الجمع مع طرح التقاطع؛ و**«و»** تتطلّب قاعدة الضرب مع احتمال شرطي.
• الاستقلال هو الحالة الخاصة التي لا يغيّر فيها الاشتراط شيئاً. ويجب التحقّق منه، لا افتراضه.

ما التالي

للاحتمال الشرطي نتيجة أنفع بكثير مما يبدو للوهلة الأولى: يمكن عكسه، بما يتيح لك تحويل «كيف تتصرّف القرينة بمعلومية سبب» إلى «ما مدى ترجيح السبب بمعلومية القرينة». هذا العكس هو مبرهنة بايز، وهي تنتج نتائج تفاجئ الناس على نحو مطّرد. وهو موضوع مبرهنة بايز وتحديث الاعتقاد.