مبرهنة بايز وتحديث الاعتقاد

عرّفت مقالة الاحتمالات من الصفر الاحتمال الشرطي $P(a \mid b)$ وتركت سؤالاً مفتوحاً: ماذا لو كان الشرطي الذي تريده معكوس الشرطي الذي تملكه؟ يخبرك الاختبار التشخيصي كم مرة يُطلق إشارته حين تكون الحالة موجودة. لكن ما تريد معرفته فعلاً هو ما إذا كانت الحالة موجودة بمعلومية أنه أطلق إشارته.

تؤدي مبرهنة بايز هذا العكس. وهي سطران من الجبر، ونتائجها مذهلة بما يكفي ليخطئ فيها المحترفون بانتظام.

أ. اشتقاق المبرهنة

استعِد تعريف الاحتمال الشرطي، مكتوباً في الاتجاهين:

$$P(a \mid b) = \frac{P(a \text{ and } b)}{P(b)}, \qquad P(b \mid a) = \frac{P(a \text{ and } b)}{P(a)} .$$

يحتوي كلاهما على الاحتمال المشترك نفسه $P(a \text{ and } b)$. وبحلّ الثاني له نحصل على $P(a \text{ and } b) = P(b \mid a)\,P(a)$، وبالتعويض في الأول تنتج مبرهنة بايز:

$$P(a \mid b) = \frac{P(b \mid a)\, P(a)}{P(b)} .$$

هذا هو الاشتقاق كلّه. لم يدخل أي افتراض جديد؛ إنه إعادة ترتيب للتعريف. غير أن أسماء الأجزاء مهمة:

• $P(a)$ هو القبلي - ما كنت تعتقده قبل القرينة.
• $P(b \mid a)$ هي الأرجحية - كيف تتصرّف القرينة حين يصدق $a$.
• $P(a \mid b)$ هو البعدي - الاعتقاد بعد التحديث.
• $P(b)$ هو القرينة، وهو ثابت تسوية.

ب. قانون الاحتمال الكلي

نادراً ما يُعطى لك المقام $P(b)$ مباشرة. تحسبه بتقسيم العالم إلى حالات شاملة متنافية ثم الجمع:

$$P(b) = \sum_i P(b \mid a_i)\, P(a_i) .$$

ولتقسيم ثنائي إلى $a$ و$\neg a$، يصبح ذلك ببساطة

$$P(b) = P(b \mid a)P(a) + P(b \mid \neg a)P(\neg a) .$$

هذا هو مقام كل حساب بايزي تقريباً، والتعرّف عليه من النظرة الأولى يوفّر قدراً كبيراً من الالتباس.

ج. المثال المحلول الذي يفاجئ الجميع

يبحث اختبار مسح عن حالة موجودة لدى 1٪ من السكان. ويوصف الاختبار بأنه «دقيق بنسبة 90٪»، ويعني ذلك هنا:

• الحساسية: يُطلق إشارته لدى 90٪ ممن لديهم الحالة، أي $P(\text{positive} \mid \text{condition}) = 0.90$.
• معدّل الإيجابيات الكاذبة: يُطلق إشارته أيضاً لدى 5٪ ممن ليست لديهم، أي $P(\text{positive} \mid \text{healthy}) = 0.05$.

جاءت نتيجتك إيجابية. ما احتمال أن تكون مصاباً؟

الخطوة 1 - القبلي. $P(\text{condition}) = 0.01$، ومن ثم $P(\text{healthy}) = 0.99$.

الخطوة 2 - الأرجحيات. $0.90$ و$0.05$، كما أُعطيت.

الخطوة 3 - الاحتمال الكلي لنتيجة إيجابية.

$$P(\text{positive}) = \underbrace{0.90 \times 0.01}_{\text{true positives}} + \underbrace{0.05 \times 0.99}_{\text{false positives}} = 0.009 + 0.0495 = 0.0585 .$$

الخطوة 4 - اقسم.

$$P(\text{condition} \mid \text{positive}) = \frac{0.90 \times 0.01}{0.0585} = \frac{0.009}{0.0585} \approx 0.1538 .$$

نحو 15.4٪. فرغم اختبار يبدو عالي الدقة، لا تزال النتيجة الإيجابية تعني أنك على الأرجح غير مصاب.

د. لماذا: معدّل الأساس هو المهيمن

السبب ظاهر في الخطوة 3. الحالة نادرة، فيُطبَّق معدّل الإيجابيات الكاذبة البالغ 5٪ على مجموعة سليمة ضخمة جداً (99٪ من الناس)، بينما تُطبَّق الحساسية البالغة 90٪ على مجموعة ضئيلة (1٪). فالإيجابيات الكاذبة - $0.0495$ - تفوق ببساطة الإيجابيات الحقيقية - $0.009$ - بأكثر من خمسة أضعاف.

هذا هو أثر معدّل الأساس، وهو سبب أن رقم «الدقة» المجرّد يكاد يكون بلا معنى لحالة نادرة ما لم يرافقه معدّل الانتشار.

هـ. الإجابة نفسها بالعدّ، بلا أي صيغة

إن ظلّ الجبر زَلِقاً، فإليك الحساب نفسه بوصفه مسك دفاتر. تخيّل 10,000 شخص:

من بين الـ585 شخصاً الذين جاءت نتيجتهم إيجابية، 90 فقط لديهم الحالة فعلاً:

$$\frac{90}{585} \approx 0.1538 .$$

وهي بالضبط الـ15.4٪ التي أعطتها الصيغة، ظاهرةً الآن بوصفها عدّاً. وعرض مسائل بايز بصيغة التكرارات الطبيعية على هذا النحو يجعل التفكير فيها أيسر بكثير، ويستحق الفعل كلما احتجت إلى شرح نتيجة لشخص آخر.

و. التحقّق بالكود

يطبع الطريقان $0.1538$، ما يؤكّد توافق الجدول مع الصيغة.

ز. التحديث مرتين: بعديّ الأمس هو قبليّ اليوم

بايز قابلة للتركيب. لنأخذ اختباراً ثانياً مستقلاً جاءت نتيجته إيجابية أيضاً. يصبح البعديّ الناتج عن الاختبار الأول، $0.1538$، هو القبليّ الجديد:

$$P(\text{positive}_2) = 0.90 \times 0.1538 + 0.05 \times 0.8462 = 0.1384 + 0.0423 = 0.1807 ,$$ $$P(\text{condition} \mid \text{both positive}) = \frac{0.90 \times 0.1538}{0.1807} \approx 0.766 .$$

نتيجتان إيجابيتان تدفعان الاعتقاد من 15.4٪ إلى نحو 76.6٪. لم تكن القرينة ضعيفة قط؛ بل كانت تصارع معدّل أساس شديد الانخفاض، ولم تكفِ جولة واحدة للتغلّب عليه.

تحذير الاستقلال، مرة أخرى. تسلسل التحديثات على هذا النحو يفترض أن الاختبارين يخفقان استقلالياً بشرط الحالة الحقيقية. فإن تشاركا نمط إخفاق واحداً

• الكاشف نفسه، أو الجهاز غير المعاير نفسه - حملت النتيجة الإيجابية الثانية معلومات أقل بكثير مما ينسبه إليها الحساب، وتكون 76.6٪ مبالغة.

الخلاصات الأساسية

• مبرهنة بايز إعادة ترتيب لتعريف الاحتمال الشرطي، لا افتراض إضافي.
• الأجزاء الأربعة هي القبلي والأرجحية والبعدي ومقام القرينة، الذي تحسبه عادةً بقانون الاحتمال الكلي.
• مع حالة نادرة، قد تُغرق الإيجابياتُ الكاذبةُ الإيجابياتِ الحقيقية: اختبار «دقيق بنسبة 90٪» أعطى قيمة تنبّؤية إيجابية لا تتجاوز 15.4٪.
• إعادة صياغة المسألة بـالتكرارات الطبيعية (90 من 585) تعطي الإجابة نفسها بلا جبر.
• التحديثات تتركّب - إذ يصبح البعديّ هو القبليّ التالي - لكن فقط إذا كانت القرائن مستقلة شرطياً.

ما التالي

حتى الآن كانت الاحتمالات تُعطى لنا. أما بقية هذا الموقع فتدور غالباً حول المسألة المعاكسة: تقديرها من البيانات، ومعرفة قدر الثقة الواجب في التقدير. وذلك موضوع ما هو التعلّم الإحصائي؟، الذي يعرض الفصل بين الخطأ الذي يمكن تقليصه والخطأ الذي لا يمكن.